题文
已知函数f(x)=x3+2x2-ax+1,(Ⅰ)若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为4,求实数a的值;
(Ⅱ)若函数g(x)=f′(x)在区间(-l,1)上存在零点,求实数a的取值范围。 题型:未知 难度:其他题型
答案
解:由题意得g(x)=f′(x)=3x2+4x-a,(Ⅰ)f′(1)=3+4-a=4,∴a=3。
(Ⅱ)解法一:(1)当g(-1)=-a-1=0,a=-1时,g(x)=f′(x)的零点
;
(2)当g(-1)=7-a=0时,f′(x)的零点
,不合题意;
(3)当g(1)g(-1)<0时,-1<a<7;
(4)当
时,∴
;
综上所述,
。
解法二:g(x)=f′(x)在区间(-1,1)上存在零点,等价于3x2+4x=a在区间(-1,1)上有解,
也等价于直线y=a与曲线y=3x2+4x,x∈(-1,1)有公共点,
作图可得
。
另解:又等价于当
时,求值域,
。
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解析
该题暂无解析
考点
据考高分专家说,试题“已知函数f(x)=x3+2x.....”主要考查你对 [函数零点的判定定理 ]考点的理解。 函数零点的判定定理
函数零点存在性定理:
一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a).f(b)
(3)若f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的,且是单调函数,f(a).f(b)<0,则fx)在(a,b)上有唯一的零点.
函数零点个数的判断方法:
(1)几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
特别提醒:①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系,但不能混为一谈,如方程x2-2x +1 =0在[0,2]上有两个等根,而函数f(x)=x2-2x +1在[0,2]上只有一个零点
②函数的零点是实数而不是数轴上的点.
(2)代数法:求方程f(x)=0的实数根.