求微分方程y²dx+(3xy-4y³)dy=0的通解
解:y[ydx+(3x-4y²)dy]=0;消去y得 ydx+(3x-4y²)dy=0..............①;
由此可知:y=0是方程的一个特解
P=y;Q=3x-4y²;∂P/∂y=1;∂Q/∂x=3;由于(1/p)(∂P/∂y-∂Q/∂x)=(1/y)(1-3)=-2/y=H(y);
因此方程①有积分因子μ:
用y²乘方程①的两边得:y³dx+(3xy²-4y^5)dy=0...........②
此时P=y³;Q=3xy²-4y^5;满足 ∂P/∂y=3y²=∂Q/∂x;故②是全微分方程。∴其通解u(x,y):
这也是原方程的通解取微分后消去y²即得原方程